Задача 3.1.

Для данной колебательной системы (КС), представленной на соответствующем рисунке, необходимо:

1. Вывести дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению КС пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент сопротивления.

2. Определить круговую частоту w₀ и период T₀ свободных незатухающих колебаний.

3. Найти круговую частоту w и период T свободных затухающих колебаний.

4. Вычислить логарифмический декремент затухания.

5. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду A₀ и фазу j₀ колебаний.

6. Написать с учетом найденных значений уравнение колебаний.

Другие исходные данные и начальные условия задачи для каждого варианта задания приведены в табл. 8 – 13.

Общие исходные данные: m^* = 0,1 кг; k^* = 10 Н/м; l^* = 0,1 м; r* = 0,1 кг/с; v* = 0,1 м/с; r* = 10³ кг/м³; S* = 10^-3 м²; j* = p/3.

Рисунок 1

Колебательная система (КС), представленная на рис. 10, 11, 12, 13, состоит из шайбы массой m и двух упругих пружин, имеющих жесткости k₁ и k₂ . На рис. 10, 12 шайба колеблется под действием пружин, соединенных параллельно, а на рис. 11, 13 колебания происходят под действием пружин, соединенных последовательно. Массой пружин можно пренебречь. На рис. 10, 11 КС имеет горизонтальное расположение, а на рис. 12, 13 вертикальное расположение в поле силы тяжести. l₁₀ и l₂₀ – длины 1-ой и 2-ой пружин в недеформированных состояниях; L (на рис.10, 12)—длина каждой пружины в деформированном состоянии; L (на рис.11, 13) — общая длина двух пружин в деформированном состоянии; – возможные векторы начальной скорости шайбы. Шайбу, находящуюся в положении равновесия, смещают до расстояния L, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени t = 0, в соответствии с заданием, скорость (см. таблицы № 8 - 11). В результате КС приходит в колебательное движение.

Решение:

Рисунок 2

Найдём дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. На рисунке 2 показаны все силы, действующие на тело. Здесь , - силы упругости первой и второй пружин, - сила сопротивления, действующая на тело. По второму закону Ньютона получим:

(1)

Введём ось x так, как показано на рисунке 2. Начало координат – положение тела при недеформированных пружинах. Деформации двух параллельно закрепленных пружин одинаковы. Проекции сил упругости на ось x равняются , . Учитывая, что , получим, что проекция силы сопротивления равняется . А также проекция ускорения тела на ось x равняется . Таким образом, запишем выражение (1) в проекциях на ось x:

(2)

Перепишем уравнение (2) в виде:

(3)

Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний, которое имеет вид:

(4)

В нашем случае коэффициент затухания , круговая частота свободных незатухающих колебаний:

(5)

Подставляя числовые значения, получим:

Период свободных незатухающих колебаний равняется:

(6)

Подставляя числовые значения, получим:

Частота свободных затухающих колебаний равняется:

(7)

Подставляя числовые значения, получим:

Период свободных затухающих колебаний равняется:

(8)

Подставляя числовые значения, получим:

Логарифмический декремент затухания равняется:

(9)

Подставляя числовые значения, получим:

Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид:

(10)

Функция проекции скорости колеблющегося тела:

(11)

В нашем случае , поэтому координата тела в начальный момент времени равняется:

(12)

Проекция скорости в начальный момент времени:

(13)

Разделим уравнение (13) на уравнение (12) и получим:

Отсюда следует:

(14)

Подставляя числовые значения, получим:

Найдём амплитуду , используя уравнение (12):

(15)

Подставляя числовые значения, получим:

С учётом найденных характеристик запишем уравнение колебаний:

Ответ:

Дифференциальное уравнение колебаний:

Частота свободных незатухающих колебаний:

Период свободных незатухающих колебаний:

Частота свободных затухающих колебаний:

Период свободных затухающих колебаний:

Логарифмический декремент затухания:

Начальная фаза колебаний:

Начальная амплитуда колебаний:

Уравнение колебаний: