Задача 1.1.

Две гладкие частицы сферической формы с массами m₁ и m₂, движущиеся со скоростями и , сталкиваются под углом b, как указано на рис.1

Расстояние до места встречи и скорости частиц соответствуют условиям соударения (отсутствию промаха). На рис.1:

b — угол встречи, т.е. угол, образованный векторами и ;

a = (p - b) — дополнительный угол;

j — угол между линией удара O₁O₂ и вектором .

Другие обозначения:

и — скорости соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

— совместная скорость частиц после абсолютно неупругого удара.

q — угол отклонения частицы после удара, т.е. угол, образованный векторами и или и .

g — угол разлета частиц после удара, т.е. угол, образованный векторами и .

и — импульсы соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

E₁, E₂ — кинетические энергии соответственно 1-ой и 2-ой частицы после удара.

DE — изменение кинетической энергии механической системы, состоящей из двух частиц за время удара.

Виды взаимодействия:

а) абсолютно упругий удар (АУУ);

б) неупругий удар (НУУ);

в) абсолютно неупругий удар (АНУУ).

Общие исходные данные: m^* = 10^-3кг, V^* = 10 м/с, a^* = p/2.

Другие данные:

В нашем случае удар абсолютно упругий. До соударения вторая частица покоилась.

Рисунок 1 в нашем случае имеет вид:

Рисунок 2

Решение:

Так как удар в нашем случае абсолютно упругий, то по закону сохранения импульса имеем:

(1)

Используя закон сохранения энергии, получим:

(2)

Введём систему координат так, как показано на рисунке 2. Учитывая, что - угол между вектором и осью, соединяющей центры частиц OO1, а - угол разлёта частиц после соударения, запишем закон сохранения импульса в нашем случае в проекциях на оси ox и oy:

(3)

Таким образом, объединяя уравнения (2) и (3), получим систему:

(4)

Из первого уравнения системы (4) получим:

(5)

Возведём обе части уравнения (5) в квадрат:

(6)

Из второго уравнения системы (4) получим:

(7)

Возведём обе части уравнения (7) в квадрат:

(8)

Сложим уравнения (6) и (8) и получим:

(9)

(10)

Умножим обе части третьего уравнения системы (4) на и получим:

(11)

Подставим выражение (10) в уравнение (11):

(12)

Решая это квадратное уравнение относительно , получим или . Решение соответствует отсутствию соударения, поэтому скорость второй частицы после соударения:

(13)

Подставим в третье уравнение системы (4) и получим:

(14)

Отсюда получим:

(15)

Отрицательное решение уравнения (15) в нашем случае смысла не имеет:

Из второго уравнения системы (4) получим:

(16)

Отсюда угол отклонения частицы после удара:

(17)

Подставляя числовые значения, получим:

Найдём кинетические энергии частиц после соударения:

(18)

Подставляя выражения (13) и (15) в выражения (18), получим:

(19)

Подставляя числовые значения, получим:

Ответ:

Угол отклонения первой частицы в результате соударения:

Кинетические энергии частиц поле соударения: