Задача 3.1

Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты и частицы лежат в пределах , , где и - стороны ямы. Определите вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области: а) ; б) ; в) , . Убедитесь, что .

Решение:

Двумерная потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

Запишем уравнение Шредингера в виде:

(2)

где .

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Воспользуемся граничными условиями, которые накладываются на волновую функцию.

Из условия непрерывности следует:

(4)

Учитывая (3) и (4), что волновая функция примет вид:

(5)

Далее из условий непрерывности волновой функции на границе области :

(6)

Следовательно, волновая функция будет иметь вид:

(7)

Найдём частные производные второго порядка и от пси-функции :

(8)

Подставим полученные выражения для и в уравнение Шредингера (2) и получим:

(9)

Так как , то определим из уравнения (9) энергетический спектр частицы:

(10)

где - квантовые числа. Из выражения (10) следует, что энергетический спектр частицы является дискретным, и наименьшее значение энергии соответствует значениям квантовых чисел :

(11)

Соответствующая этому состоянию волновая функция имеет вид:

(12)

Используя условие нормировки волновой функции найдём коэффициент :

(13)

Таким образом, волновая функция имеет следующий вид:

(14)

Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности нахождения частицы. Найдём функцию плотности вероятности нахождения частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией (14):

(15)