Комптоновское смещение длины волны фотона определяется следующим соотношением:

 

                                                                                                  (1)

 

где  - длина волны падающего фотона,  - длина волны рассеянного фотона,  - комптоновская длина волны электрона (здесь  - масса покоя фотона).

 

Отсюда длина волны смещённого фотона:

 

                                                                                                          (2)

 

Импульс рассеянного фотона:

 

                                                                                  (3)

 

На рисунке 1 представлен рисунок треугольника импульсов при взаимодействии фотона и свободного электрона:

 

Рисунок 1

В соответствии с законом сохранения импульса: .

 

Модуль вектора импульса рассеянного фотона может изменяться в пределах от  ( при  - нерассеянный фотон максимальное значение модуля вектора импульса фотона) до  ( при  -  минимальное значение модуля вектора импульса рассеянного фотона).

Найдём какие значения импульсов имеют фотоны рассеянные под углами от  до . Найдём дифференциал для выражения (3):

 

                                                                                               (4)

 

Знак минус показывает лишь, что при увеличении угла  модуль вектора импульса фотона уменьшается. Следовательно, для интервала углов рассеяния  значение импульса рассеянного фотона изменяется в пределах от  до . Считая распределение фотонов по импульсам равновероятным на всём промежутке изменения угла рассеяния, получим, что относительное число фотонов, рассеянных под углами от  до , равняется:

 

              (5)

 

Здесь  - число падающих фотонов. Из выражения (5) следует, что:

 

                                                                                            (6)

 

Мы получили функцию плотности вероятности для числа рассеянных фотонов в зависимости от угла рассеяния. График этой функции (рисунок 2):

 

Рисунок 2

 Действительно в интервале значений угла рассеяния  эта функция возрастает, значит, при увеличении угла рассеяния от 0 до  возрастает и число фотонов, рассеянных под этим углом.