Задача № 6.240.

 

Получить с помощью формулы Планка приближённые выражения для объёмной спектральной плотности излучения  в области, где:

1)   (формула Рэлея-Джинса);

2)   (формула Вина).

 

Решение:

 

Формула Планка для спектральной плотности энергии излучения имеет вид:

 

                                                            (1)

 

1) Рассмотрим случай . При  мы приближаемся к классическому случаю – предположению о том, что энергия излучения не квантована. Разложим экспоненту в ряд (при ):

 

                                               (2)

 

Пренебрегая членами, начиная со второго порядка, приближённо получим:

 

                                                                           (3)

 

Подставляя приближённое выражение (3) в выражение (1), получим:

 

                                                (4)

 

Мы получили формулу Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергии излучения. Значения спектральной плотности энергии излучения, полученное с помощью формулы Рэлея-Джинса удовлетворительно совпадают с экспериментальными значениями только в области длинных волн. Этот факт согласуется с нашим первоначальным предположением 

 - область малых частот или больших длин волн.

 

2)  Теперь рассмотрим случай. Из формулы Планка для спектральной плотности энергии излучения (1) автоматически имеем:

 

                                                                          (5)

 

где . Выражение (5) – формула Вина.

 

Итак, с помощью формулы Планка для спектральной плотности энергии излучения мы пришли к формуле Рэлея-Джинса и формуле Вина.

 

Ответ:

 

1)  ,

 

2)  .