Задача № 5.144.
Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для
которого волновая функция имеет вид 
, где 
, 
и 
- некоторые постоянные.
Решение:
Потенциальное поле, в котором находится электрон в атоме водорода, имеет вид:
(1)
где 
. Составим уравнение Шредингера:
(2)
Так как волновая функция в нашем случае зависит только от
координаты 
, то в нашем случае будем использовать только радиальную
часть оператора Лапласа:
(3)
С учётом выражения (3) уравнение Шредингера примет вид:
(4)
Волновая функция электрона в заданном состоянии имеет вид:
(5)
Найдём её первую и вторую производные по
:
(6)
(7)
(8)
Уравнение (8) должно выполняться для любых значений , поэтому:
(9)
Из первого уравнения (9) выражение для энергии электрона подставим в последнее уравнение и получим:
Из этого уравнения найдём :
(10)
Подставим (10) в выражение для энергии электрона, найденное из первого уравнения (9) и определим значение энергии электрона в данном состоянии:
(11)
Что соответствует значению энергии при
, то есть второй энергетический
уровень электрона в атоме водорода.
Ответ: 
, второй энергетический уровень .