Задача № 49.

 

В некоторый момент времени координатная часть волновой функции частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками , имеет вид . Найдите вероятность пребывания частицы в основном состоянии.

 

Решение:

 

Вид потенциальной ямы, в которой находится частица, представлен на рисунке 1:

 

                    Рисунок 1

Найдём пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме. Составим уравнение Шредингера для области :

                                                                (1)

 

или в виде:

 

                                                                      (2)

 

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

 

                                                             (3)

 

Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области  потенциальная энергия равняется бесконечности, поэтому частица находится в области  не может. Следовательно, плотность вероятности нахождения частицы, а, значит, и пси-функция частицы в области  равны нулю. Из условия непрерывности пси-функций для точки , получим:

 

 

Аналогично, применив условие непрерывности пси-функций, для точки  получим:

 

 

Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:

                                                                        (4)

 

Учитывая, что , получим:

 

                                    (5)

 

Мы получили энергетический спектр частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Определим постоянную в выражении для пси-функций собственных состояний частицы (4), используя условие нормировки:

 

                (6)

 

Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:

 

                                                         (7)

 

По условию частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом пси-функцией:

 

                                                                  (8)

 

Используя условие нормировки, определим постоянную  в выражении (8):

 

                     (9)

 

Тогда пси-функция (8) имеет вид:

 

                                                        (10)

 

Разложим пси-функцию (10) в ряд по пси-функциям собственных состояний (7):

 

                                            (11)

 

где  - коэффициенты, которые определяются следующим образом:

 

                                                                       (12)

где  - функция, сопряжённая к собственной пси-функции ,  - пси-функция, описывающая состояние частицы. Найдём несколько первых коэффициентов разложения:

 

                                (13)

 

                                               (14)

 

                          (15)

 

                                               (16)

 

                          (17)

 

Значит, разложение пси-функции (10) в ряд по собственным пси-функциям (7) имеет вид:

 

                                                        (18)

 

Если в собственных состояниях некоторая физическая величина  имеет определённые собственные значения, то в состоянии описываемом пси-функцией , которая не является пси-функцией собственного состояния, физическая величина  определённого значения иметь не будет. Если пси-функцию  разложить в ряд по пси-функциям собственных состояний, то вероятность того, что значение физической величины  будет равно  - собственному значению в состоянии, описываемом пси-функцией , определяет квадрат модуля первого коэффициента в разложении . Аналогично, вероятность того, что значение физической величины  примет значение , определяет , и так далее. Следовательно, вероятность нахождения частицы в основном состоянии в нашем случае определяет квадрат модуля первого коэффициента в разложении (18), значит:

 

                                                                (19)

 

Ответ:

 

.