Задача № 26.

 

Частица массой  находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найдите длину ребра куба, если разность энергий 6-ого и 5-ого уровней равна . Чему равна кратность вырождения 6-ого и 5-ого уровней?

 

Решение:

 

Потенциальная яма имеет вид (рисунок 1):

 

    Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :

 

                                         (1)

 

или в виде:

 

                         (2)

 

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

 

                                  (3)

 

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области  частица находиться не может, значит, плотность вероятности, а значит, и пси-функция вне области  равны нулю. Учитывая этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:

 

 

В этом случае пси-функция примет вид:

 

                                   (4)

 

Найдём частные производные от выражения (4) по x, y и z:

 

                                       

 

и подставим их в уравнение Шредингера (2), получим:

 

                                        (5)

 

Учитывая, что , получим:

 

                               (6)

 

Отсюда получим энергетический спектр частицы:

 

                                                                       (7)

 

Энергия частицы зависит от трёх квантовых чисел . Составим таблицу (таблица 1), в которой рассмотрим несколько первых энергетических уровней (сумма квадратов трёх квантовых чисел  определяет энергию частицы):

Таблица 1:

№ уровня
1	1	1	1	3
2	1	1	2	6
	1	2	1
	2	1	1
3	1	2	2	9
	2	1	2
	2	2	1
4	1	1	3	11
	1	3	1
	3	1	1
5	2	2	2	12
6	1	2	3	14
	1	3	2
	2	1	3
	2	3	1
	3	1	2
	3	2	1

 

Как видно из таблицы, может существовать несколько состояний частицы, описываемых различными пси-функциями, но в которых частица имеет одно и то же значение энергии. Такие энергетические уровни называются вырожденными, а число квантовых состояний, в которых частица имеет одно и тоже значение энергии называется кратностью вырождения. Значит, 5-ый энергетический уровень не вырожден, потому что существует только одно состояние, в котором частица имеет такое значение энергии, а 6-ой уровень имеет кратность вырождения 6. Определим разность энергий 6-ого и 5-ого уровней:

 

                                  (8)

 

Отсюда найдём ребро куба:

 

                                                    (9)

 

Ответ:

 

 

5-ый уровень не вырожден, кратность вырождения 6-ого уровня равна 6.