Задача № 20.

 

Оцените с помощью соотношения неопределённостей Гейзенберга неопределённость скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома . Сравните полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите.

 

Решение:

 

Воспользуемся первым соотношением неопределённостей Гейзенберга:

 

                                                                                                    (1)

 

В нашем случае неопределённость координаты  - размер атома, а неопределённость импульса , где  - масса электрона, а  - неопределённость скорости электрона. Тогда выражение (1) примет вид:

 

                                                                                                   (2)

 

Из этого уравнения найдём неопределённость скорости электрона:

 

                                                                                 (3)

 

Из постулатов Бора для атома водорода следует, что момент импульса электрона квантуется:

 

                                                                                          (4)

 

Учитывая определение момента импульса, имеем:

 

                                                                                                     (5)

 

Между электроном и ядром действуют кулоновские силы притяжения, которые вызывают ускорение электрона при его движении по круговой орбите. На основании второго закона Ньютона можем записать:

 

                                                                                                   (6)

 

где  - введена из-за использования системы СИ. Из системы уравнений (5) и (6) определим радиусы орбит электронов:

 

                                                                                                  (7)

 

и скорости электронов на этих орбитах:

 

                                                                                                      (8)

 

Для первой боровской орбиты , поэтому скорость электрона на этой орбите равна:

 

                                                                                 (9)

 

Из выражений (3) и (9) видим, что скорость электрона и неопределённость его скорости на первой боровской орбите в атоме водорода имеют один и тот же порядок.

 

Ответ:

 

,

 

.