Домашнее задание № 3.2

1. Определить переходную и импульсную характеристику цепи. Входное напряжение подключено к зажимам 1-1’. Выходное напряжение снимается с зажимов 2-2’.

2. Пользуясь любой из найденных характеристик, определить реакцию цепи на заданное входное воздействие . : длительность импульса следует выбрать равной постоянной времени цепи,

3. Построить временную зависимость . Рассчитать значения , , ,

1. Определим переходную и импульсную характеристики цепи.

Входное сопротивление цепи:

Ток равняется:

Выходное напряжение найдём по второму закону Кирхгофа:

Тогда передаточная функция цепи:

Подставляя числовые значения, получим:

Переходная характеристика цепи - это реакция цепи на единичное входное воздействие:

Изображение единичной функции , поэтому мы можем найти изображение выходного напряжение при таком воздействии на входе цепи:

Теперь найдём оригинал этого изображения выходного напряжения – это и будет переходная характеристика цепи. Изображение имеет вид дроби , где корни уравнения равняются и . Повторяющихся корней нет. Производная знаменателя:

Так как дробь мы можем представить в виде дроби:

То в нашем случае:

Таким образом:

Оригинал , который и будет переходной функцией, имеет вид:

Импульсная характеристика четырёхполюсника определяется как реакция на входное воздействие, представляющее собой дельта-функцию . Изображение дельта-функции равняется 1, поэтому изображение выходного напряжения имеет вид:

Оригинал этого напряжения будет импульсной характеристикой цепи:

Импульсная характеристика - это производная от переходной характеристики:

2. Определим реакцию цепи на заданное входное воздействие.

Входное воздействие имеет вид:

Где - постоянная времени цепи. Постоянная времени цепи определяет время, в течении которого напряжение на выходе уменьшается в раз. В нашем случае

Это входное воздействие можно рассматривать как 3 следующих друг за другом этапа:

- скачок входного напряжения в момент времени от 0 до

- постоянное значение при

- скачок входного напряжения в момент времени от до 0

Воспользуемся для определения реакции цепи (нахождения ) интегралом Дюамеля:

при :

Первое слагаемое обусловлено скачком в момент времени , второе слагаемое - постоянным значением напряжения на входе цепи в период времени , равняется 0, так как.

при

Третье слагаемое обусловлено скачком напряжения в момент . Воспользовавшись единичной функцией , можем записать для :

Входной сигнал имеет вид:

Найдём изображение входного напряжения :

Определим реакцию цепи на такое входное воздействие. Изображение выходного напряжения :

Рассмотрим дробь:

Корни уравнения , откуда и . Первая производная . Таким образом:

Таким образом:

Оригинал выходного напряжения имеет вид:

Что совпадает с выходным напряжением, полученным с использованием переходной характеристики цепи.

3. Построим графически зависимость . Рассчитаем значения , , ,

График напряжения :

Рассчитаем значения в моменты времени . Для этого воспользуемся аналитическим выражением для .

Для :

Так как выходное напряжение – это напряжение на конденсаторе, поэтому согласно законам коммутации оно не может измениться скачком, а для оно было равно нулю, так как входное напряжение было равно нулю. Таким образом, .

Для моментов времени и также , потому что выходное напряжение – это напряжение на конденсаторе, и оно не может измениться скачком, согласно законам коммутации.

Заметим, что, если бы входное напряжение представляло собой единичный скачок амплитудой бесконечной длительности, то напряжение на конденсаторе для равнялось бы напряжению на резисторе в установившемся процессе: . Но так как длительность единичного импульса ограниченно временем , равным постоянной времени цепи, то конденсатор не успевает зарядиться до этого значения, и успевает зарядиться только до значения, на меньшее, а при разряжается через резистор .

Для :

При входное напряжение равняется нулю, поэтому при конденсатор разряжается через резистор и напряжение на нем, которое равняется выходному, стремится к нулю.

Ответ:

Переходная характеристика цепи:

_{Импульсная характеристика цепи:}

Реакция цепи на заданное входное воздействие: