Задача 4.1.

В среде на расстоянии d друг от друга находятся одинаковые излучатели плоских акустических монохроматических волн (S₁ и S₂, рис.16). Оба излучателя колеблются по закону x=Acos(wt), где x - смещение излучателя из положения равновесия при колебаниях, A - амплитуда, w - круговая частота при колебаниях излучателя.

Рисунок 1

Исходные данные для каждого варианта задания представлены в таблице.

Необходимо:

1. вывести уравнение колебаний частиц среды в т. М, находящейся на расстоянии l от второго излучателя. Считать, что направления колебаний частиц среды в т. М совпадают;

2. определить отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны l;

3. вывести уравнение колебаний скорости частиц среды. Найти амплитуду скорости частиц среды и её отношение к скорости распространения волны;

4. вывести уравнение колебаний деформаций частиц среды. Найти связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости частиц среды.

Решение:

Найдём уравнения двух волн, источниками которых являются и . Круговая частота равняется:

(1)

Длина волны:

(2)

Волновое число:

(3)

Выберем начало координат в точке нахождения первого источника . Тогда координата второго источника равняется . Оба источника колеблются по одинаковому закону . Поэтому уравнения двух волн источников и , распространяющихся в направлении оси ox, имеют вид:

(4)

(5)

Результирующая волна , образующаяся при наложении двух волн и , имеет вид:

(6)

Преобразуем уравнение (6) к виду:

(7)

Учитывая выражения (1) и(3), получим:

(8)

Точка M имеет координату . Поэтому уравнение колебаний в точке M имеет вид:

Таким образом, уравнение колебаний в точке M:

(9)

Подставляя числовые значения, получим:

Согласно выражению (8) амплитуда смещений частиц среды равняется:

(10)

Длина волны определяется выражением (2), поэтому отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны равняется:

(11)

Подставляя числовые значения, получим:

Найдём уравнение скорости колебаний частиц среды. Так как , тогда получим:

Таким образом, уравнение скорости колебаний частиц среды имеет вид:

(12)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда скорости частиц среды:

(13)

Числовое значение амплитуды скорости частиц среды . Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде равняется:

(14)

Числовое значение:

Выведем уравнение деформаций частиц среды. Деформация , поэтому:

Таким образом, уравнение деформаций имеет вид:

(15)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда деформаций равняется:

(16)

Числовое значение . Разделим выражение (13) на выражение (16) и получим:

(17)

Откуда следует, что амплитуда скорости частиц среды и амплитуда деформаций связаны следующим соотношением:

(18)

Ответ:

Уравнение колебаний частиц среды в точке M:

Отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны:

Уравнение скорости колебаний частиц среды:

Амплитуда скорости колебаний частиц среды:

Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде:

Уравнение деформаций:

Связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости колебаний частиц среды: