Задача 2.1.

Жесткий стержень длиной l=1 м и массой M=1 кг свободно висит на горизонтальной идеально гладкой оси вращения О, как показано на рис. 1.

Рисунок 1

Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка. Малый шарик массой m=0,1кг, летящий горизонтально со скоростью , движется в плоскости рисунка и ударяет в стержень. При этом взаимодействие шарика со стержнем может происходить в виде:

1. абсолютно упругого удара (АУУ);

2. неупругого удара (НУУ);

3. абсолютно неупругого удара (АНУУ).

Сразу после удара стержень вращается с угловой скоростью w₀, а шарик приобретает скорость и продолжает двигаться в плоскости рисунка. Другие обозначения:

DE - потеря энергии при ударе;

- минимальная начальная скорость шарика, при которой стержень после удара совершает полный оборот;

w_K - угловая скорость стержня при прохождении им крайней верхней точки;

j_m - максимальный угол отклонения стержня от положения равновесия.

Другие исходные данные и искомые величины для каждого варианта задания представлены в таблице:

Расчет следует начинать с определения характерной скорости шарика

Решение:

Определим момент инерции стержня относительно оси O, проходящей так, как показано на рисунке 1. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через центр масс стержня, равняется:

(1)

По теореме Штерна определим момент инерции стержня относительно оси O на рисунке 1. Расстояние от оси, проходящей через центр масс стержня, до оси O равняется , поэтому момент инерции относительно оси O равняется:

(2)

До соударения момент импульса системы равнялся , после абсолютно неупругого соударения момент импульса системы: . Так как момент импульса системы сохраняется, то имеем:

(3)

(4)

Подставим в выражение (4) значение момента импульса стержня (2) и получим:

(5)

Откуда:

(6)

Выберем нулевой уровень потенциальной энергии проходящим через центр масс свободно висящего стержня, так как показано на рисунке 2:

Рисунок 2

В этом случае сразу после соударения потенциальная энергия стержня равняется нулю, то есть . Кинетическая энергия стержня сразу после соударения равняется:

(7)

Учитывая, что момент инерции стержня определяется выражением (2), а его угловая скорость сразу после соударения определяется выражением (6), получим:

(8)

В верхнем положении потенциальная энергия стержня равняется . Из рисунка 2 видно, что , таким образом, получим:

(9)

Кинетическая энергия в верхнем положении равняется:

(10)

По закону сохранения полной механической энергии для стержня получим:

(11)

Учитывая (8), (9), (10), получим:

(12)

Минимальную начальную скорость шарика , при которой стержень совершает полный оборот, найдём из условия, что в верхнем положении кинетическая энергия стержня равняется нулю . В этом случае выражение (12) имеет вид:

(13)

Отсюда равняется:

(14)

По условию задачи , поэтому начальная скорость шарика равняется:

(15)

Подставим в выражение (12) и получим:

(16)

(17)

Найдём потерю энергии при ударе. При соударении потенциальная энергия системы не изменяется. Кинетическая энергия системы до соударения равняется кинетической энергии шарика:

(18)

Угловая скорость стержня сразу после соударения определяется выражением (6) и в нашем случае равняется:

(19)

Сразу после соударения стержень и шарик движутся вместе, поэтому кинетическая энергия системы равняется:

(20)

Из закона сохранения энергии следует, что потеря энергии при ударе равняется:

(21)

Таким образом, мы получили:

Подставляя числовые значения, получим:

Ответ:

, ,

, , .