Квантовый объект в потенциальной яме.

1. Введение.

Рассмотрим ситуацию, когда частица (квантовый объект) находится в потенциальной яме. Ниже рассмотрено пять различных видов потенциальных ям. Во всех этих случаях принципиально одинаковый подход к решению. Во-первых, составляется уравнение Шредингера для стационарных состояний (1) для каждой области, в которой исследуется поведение частицы, во-вторых, находится вид решения этого дифференциального уравнения, в-третьих, используя естественные условия, накладываемые на пси-функцию, которая является решением уравнения Шредингера, находят все неизвестные постоянные.

(1)

К естественным условиям, накладываемым на пси-функцию, относятся:

Непрерывность.
Однозначность, то есть пси-функция должна удовлетворять следующему уравнению (условие нормировки):

(2)

Конечность ().
Гладкость (непрерывность первых производных):

Рассмотрим несколько конкретных случаев потенциальных ям различного вида.

2. Частица в одномерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.

Рассмотрим потенциальную яму, имеющую вид, представленный на рисунке 1.

Рисунок 1

Потенциальная энергия в этом случае имеет вид:

Составим уравнение Шредингера для области 0 < x < a:

(3)

, где (4)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(5)

В точках x = 0 и x = a U = ∞, поэтому вероятность нахождения частицы в этих точках равна нулю, а, значит, равна нулю и пси-функция. Используя условие непрерывности пси-функции, получим:

(6)

, где n=1,2,3…

В случае n = 0, получим, что вероятность нахождения частицы во всей рассматриваемой области равна нулю (другими словами частицы нет), поэтому этот случай мы не рассматриваем. Число n называется квантовым числом. Учитывая условия (6) решение уравнения (3) мы можем записать как:

(7)

Учитывая условия (6) и значение k в уравнении (4), найдём:

(8)

- собственные значения энергии частицы в потенциальной яме. Спектр собственных значений энергии графически изображён на рисунке 2:

Рисунок 2

Для того, чтобы определить коэффициент A в выражении для пси-функций, описывающих собственные состояния частицы, используем условие нормировки (2):

(9)

Тогда пси-функции, описывающие собственные состояния частицы в потенциальной яме такого вида, имеет вид:

, где n=1,2,3,… (10)

На рисунке 3 представлен графический вид пси-функции и плотности вероятности в случае n = 1:

Рисунок 3

В случае больших n, плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма, всё больше приближается к классическому. Например, для n = 10 графический вид

пси-функции и плотности вероятности изображён на рисунке 4:

Рисунок 4

При решении этой задачи мы получили пси-функции, которые не удовлетворяют одному из естественных условий – условию гладкости. Это связано с тем, что потенциальная яма в нашем случае имеет бесконечно высокие стенки, что в природе не имеет места, другими словами это несколько идеализированный случай.

Пример: Для потенциальной ямы, рассмотренного вида, определить вероятность нахождения частицы в основном состоянии (n = 1) в области .

Решение:

Физический смысл пси-функции состоит в том, что квадрат модуля пси-функции – это плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма. В нашем одномерном случае плотность вероятности:

(11)

Вероятность нахождения частицы в указанной области находится путём интегрирования выражения (11) по данной области:

(12)

Для пси-функций справедлив принцип суперпозиции: если частица может находиться в состоянии, описываемом пси-функцией , и в состоянии, описываемом пси-функцией , то частица может находиться и в состоянии , где С₁ и С₂ – коэффициенты, в общем случае они могут быть комплексные. Из принципа суперпозиции пси-функций следует, что для любого состояния частицы, которому соответствует пси-функция , эта пси-функция может быть разложена на пси-функции, соответствующие основным состояниям, то есть в ряд (который может быть бесконечным) по пси-функциям , , ,…:

(13)

Коэффициенты в этом разложении определяются следующим образом:

(14)

Здесь для одномерного случая dV следует заменить на dx, для двумерного – на dxdy, для трёхмерного – dV = dxdydz. Интегрирование производится по всей области изменения переменных x, y и z.

Если в основных состояниях некоторая физическая величина Q имеет значения Q₁, Q₂, Q₃, …, то в состоянии для физической величины Q вероятность иметь значения Q₁, Q₂, Q₃, …соответственно равны

Теперь перейдём к случаю двумерной потенциальной ямы.

3. Частица в двумерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.

Рассмотрим случай, когда частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме, имеющей вид, изображённой на рисунке 5. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид:

где , а точка M(x,y)

Рисунок 5

Как и предыдущем параграфе составим уравнение Шредингера для области:

(15)

, где (16)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(17)

Также как и в случае одномерной ямы, используя естественные условия, накладываемые на пси-функцию, получим:

, где n₁=1,2,3,…

, где n₂=1,2,3,…

Учитывая эти условия, перепишем выражение (17) в виде:

(18)

Найдём вторые частные производные от пси-функции (18):

(19)

Подставим найденные вторые частные производные в уравнение Шредингера (16):

(19)

Мы получили спектр собственных значений энергии частицы. Найдём коэффициент A в выражении (18) для пси-функций собственных состояний, используя условие нормировки:

(20)

Тогда собственные состояния описываются пси-функциями:

(21)

Теперь рассмотрим частный случай a = b – квадратная потенциальная яма. В этом случае собственные значения энергии частицы:

(22)

Из этого выражения видно, что энергия частицы в некотором состоянии определяется суммой квадратов двух квантовых чисел , поэтому составим следующую таблицу:

Таблица 1:

№ состояния	n₁	n₂
1	1	1	2
2	1	2	5
2	2	1	5
3	2	2	8
4	1	3	10
4	3	1	10

Из таблицы 1 видно, что может существовать несколько состояний, описываемых различными пси-функциями, но имеющими одно и то же значение энергии. Например, первому возбуждённому состоянию соответствует две различные пси-функции и . Число собственных состояний, соответствующих какой-то определённой энергии частицы, называется кратностью вырождения этого уровня, а этот уровень называется вырожденным. Плотность вероятности в случае двумерной потенциальной ямы определяется также как квадрат модуля пси функции:

(23)

Графический вид функции плотности вероятности для основного состояния изображён на рисунке 6:

Рисунок 6

И графический вид функции плотности вероятности для n₁ = 2 и n₂ = 2 (рисунок 7):

Рисунок 7

Пример: Найти вероятность нахождения частицы в основном состоянии в области .

Решение: В нашем случае частица находится в основном состоянии , то есть n₁ = 1 и n₂ = 1, учитывая физический смысл пси-функции (23), вероятность нахождения частицы в указанной области найдём интегрированием по указанной области:

(24)

5. Частица находится в трёхмерной потенциальной яме.

Рассмотрим случай, когда частица находится в трёхмерной потенциальной яме, вид которой приведен на рисунке 8:

Рисунок 8

Потенциальная энергия имеет вид:

M(x,y,z) –точка в пространстве.

Составим уравнение Шредингера для области :

(25)

, где (26)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(27)

Используя естественные условия, накладываемые на пси-функцию, получим:

, где n₁ = 1,2,3,…

, где n₂ = 1,2,3,…

, где n₃ = 1,2,3,…

Тогда пси-функция примет вид:

(28)

Найдём вторые частные производные от (28) :

(29)

Подставим в уравнение Шредингера:

(30)

Это спектр собственных значений энергии в потенциальном ящике.

Коэффициент A в выражении для пси-функций, описывающих собственные состояния, найдём из условия нормировки:

(31)

Пси-функции собственных состояний частицы:

(32)

Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма:

(33)

Рассмотрим случай кубической потенциальной ямы a = b = c. В этом случае спектр собственных значений энергии:

(34)

Здесь также значение энергии определяется суммой квадратов всех квантовых чисел. Составим таблицу, аналогичную таблице 1:

Таблица 2:

№ уровня
1	1	1	1	3
2	1	1	2	6
	1	2	1
	2	1	1
3	1	2	2	9
	2	1	2
	2	2	1
4	1	1	3	11
	1	3	1
	3	1	1
5	2	2	2	12
6	1	2	3	14
	1	3	2
	2	1	3
	2	3	1
	3	1	2
	3	2	1

В этом случае также нескольким состояниям соответствует одно и то же значение энергии. Количество таких собственных состояний называется кратностью вырождения. Например, кратность вырождения шестого (пятого возбуждённого) уровня равна 6.

Пример: Частица находится в трёхмерной потенциальной яме в основном состоянии. Найти вероятность нахождения частицы в области .

Решение: Учитывая (33) вероятность нахождения частицы в указанной области найдём интегрированием по данной области:

(35)

6. Одномерная потенциальная яма со стенками конечной высоты.

Рассмотрим поведение частицы в потенциальной яме, имеющей вид, изображённый на рисунке 9. В этом случае потенциальная энергия имеет вид:

Рисунок 9

Напишем уравнения Шредингера для областей 1 и 2:

Для области 1: , где (36)

Для области 2: , где (37)

Рассмотрим случай, когда . Тогда число k₂ – комплексное. Пусть _,где . Решениям дифференциальных уравнений (36) и (37) являются пси-функции, имеющие вид:

(38)

(39)

Учитывая условие конечности пси-функции в выражении (39) мы вынуждены приравнять коэффициент B₂ нулю, иначе при стремлении x к бесконечности второе слагаемое в выражении (39) бесконечно возрастает. Тогда пси-функция для области 2 имеет вид:

(40)

Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функции:

Условие непрерывности:

(41)

Условие гладкости:

(42)

Разделим (41) на (42) и получим:

(43)

Используя соотношения из тригонометрии, получим:

, где (44)

Найдём решение уравнения (44) графически:

Рисунок 10

Из рисунка 10 видно, что это уравнение имеет решение не всегда. Крайний случай :

(45)

Выражение (45) определяет минимальное значение U₀_min, такое, что при U₀ ≥ U₀_min существуют состояния частицы при E < U₀. Такая потенциальная яма может и не содержать ни одного энергетического уровня: это будет при условии .

Пси-функция состояния частицы в потенциальной яме такой конфигурации имеет вид, представленный на рисунке 11. Красной линией изображен графический вид пси-функции, синей линией изображена функция плотности вероятности. Из этого графика следует, что вероятность нахождения частицы в области x > a, где E < U₀, то есть полная энергия частицы меньше её потенциальной энергии, отлична от нуля. Этот факт чисто квантовый. Частица в области x > a имеет отрицательную кинетическую энергию с точки зрения классической физике. С точки зрения квантовой физики такое деление полной энергии на потенциальную и кинетическую в этом случае неправомерно, так как кинетическая энергия зависит от импульса частицы, а потенциальная – от координаты, но две эти физические величины согласно первому соотношению неопределённостей Гейзенберга не могут быть определены точно одновременно.

Рисунок 11

6. Квантовый гармонический осциллятор.

Рассмотрим случай, когда частица находится в потенциальном поле вида:

(46)

где . Графический вид этого потенциального поля приведен на рисунке 12:

Рисунок 12

В этом случае в принципе нужно решить такую же задачу для частицы в потенциальной яме вида (46). Составим уравнение Шредингера:

(47)

Это дифференциальное уравнение имеет решения при дискретных значениях E, которые составляют энергетический спектр частицы (рисунок 13):

(48)

где v =0,1,2,… - квантовое число.

Рисунок 13

Как видно из рисунка 12 энергетические уровни эквидистантны, то есть энергетическое расстояние между двумя любыми соседними энергетическими уровнями одно и то же. Существует минимальная энергия, которую может иметь квантовый осциллятор, , она называется нулевой энергией квантового осциллятора и соответствует квантовому числу v = 0.

Пси-функции, описывающие собственные состояния квантового осциллятора, имеют вид:

(49)

где , а . H_v(x) – специальные функции, которые называются полиномами Чебышева-Эрмита. Они вычисляются следующим образом:

(50)

Первые три нормированные пси-функции, описывающие состояния квантового осциллятора, приведены ниже. Их графики на рисунке 14.

Рисунок 14