Задача № 15.

 

Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределённость кинетической энергии порядка . Оцените, во сколько раз неопределённость координаты такой частицы больше её дебройлевской длины волны.

 

Решение:

 

Пусть движущаяся нерелятивистская частица имеет импульс . В этом случае её кинетическая энергия равняется:

 

                                                                                                                               (1)

 

Найдём дифференциал выражения (1):

 

                                                                                                                           (2)

 

Такая же связь будет и между неопределённостями кинетической энергии и импульса, то есть:

 

                                                                                                                          (3)

 

Учитывая выражения (1) и (3), получим, что относительная неопределённость кинетической энергии частицы равняется:

 

                                                                                                       (4)

 

Соотношение неопределённостей Гейзенберга для координаты и проекции импульса имеет вид:

 

                                                                                                                         (5)

 

Поэтому неопределённость координаты частицы равняется:

 

                                                                                                                              (6)

 

Дебройлевская длина волны частицы:

 

                                                                                                                            (7)

 

Найдём отношение неопределённости координаты частицы и её дебройлевской длины волны:

 

                                                                                                  (8)

 

Согласно выражению (4),  равняется относительной неопределённости кинетической энергии частицы , поэтому выражение (8) примет вид:

 

                                                                                                                   (9)

 

Подставляя числовые значения, получим:

 

 

Ответ: Отношение неопределённости координаты частицы к её дебройлевской длине волны равняется: